Un code secret

Le chef d'une tribu de Gaulois veut envoyer un message à son frère.
Dans l'éventualité où les Romains intercepteraient le message, il décide de le coder. Il commence par attribuer à chaque lettre un nombre qui correspond au rang de la lettre dans l'alphabet, comme présenté dans le tableau ci-dessous.

\(\begin{align*} \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{A} &\text{B} &\text{C} &\text{D} &\text{E}&\text{F} &\text{G}&\text{H}&\text{I} &\text{J}&\text{K} &\text{L}&\text{M} &\text{N} &\text{O}& \text{P}&\text{Q} &\text{R} &\text{S}&\text{T}&\text{U}&\text{V}&\text{W}&\text{X}&\text{Y}&\text{Z} \\ \hline 1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25&26\ \\ \hline \end{array}\end{align*}\)Il pense : « Je vais remplacer chaque lettre par la lettre dont le rang est l'opposé du rang de départ augmenté de 27. »
Voici le message donné par le chef : « BONJOUR MON FRERE. ENVOIE-MOI UN NOUVEAU BOUCLIER. »

1. Quel sera le message une fois que le chef gaulois aura appliqué son code ?
2. Si on note `x` le rang de la lettre du message initial, exprimer en fonction de `x` la transformation proposée par le chef gaulois pour obtenir le rang `y` de la nouvelle lettre.
3. Que se passe-t-il si on applique deux fois le codage ?
4. Expliquer comment le frère du chef gaulois pourra décoder la réponse.
5. Soit \(f\) la fonction qui, à tout \(x\) entier compris entre \(1\) et \(26\), associe l'entier \(27 - x\). On définit, pour tout \(x\) réel, la fonction \((f \circ f)(x)=f(f(x))\), fonction composée de \(f\) avec elle-même. Démontrer que, pour tout \(x\) réel, \((f \circ f)(x)=x\), c'est-à-dire que \(f \circ f\) est la fonction identité. Retrouver la réponse à la question 4. en s'appuyant sur cette définition.